Алгебра Примеры

$\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $5 x^{8}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $20 x^{6}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 20 x^{4} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $20 x^{4}$ .

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2})$ .

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $5 x^{4}$ из $5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)$ .

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 2^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 2.1.4.3

Перепишем многочлен.

$5 x^{4} (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

$5 x^{4} {(u + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x^{2} + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x^{2} + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 2.4.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 2.4.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0$

Этап 4