Алгебра Примеры

$\frac{5 x + 7}{x - 1} < - 2$

Этап 1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x + 7 + 2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x + 7 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5 x + 7 + 2 x - 2}{x - 1} < 0$

Этап 2.3.3

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$\frac{7 x + 7 - 2}{x - 1} < 0$

Этап 2.3.4

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{7 x + 5}{x - 1} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$7 x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 5$

Этап 5

Разделим каждый член $7 x = - 5$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $7 x = - 5$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{7}$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{5}{7}$

$x = 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = - \frac{5}{7}, 1$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{7}$

$- \frac{5}{7} < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (- 3) + 7}{(- 3) - 1} < - 2$

Этап 11.1.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{7} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{7} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (0) + 7}{(0) - 1} < - 2$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 7$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (4) + 7}{(4) - 1} < - 2$

Этап 11.3.3

Левая часть $9$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{7}$ Ложь

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - \frac{5}{7}$ Ложь

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{5}{7} < x < 1$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{5}{7}, 1)$

Этап 14