Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$7^{y - 1} = 3 x$

Этап 2.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Этап 2.5

Развернем $\ln (7^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Этап 2.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим $(y - 1) \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Этап 2.6.1.2

Перепишем $- 1 \ln (7)$ в виде $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Этап 2.7

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Этап 2.8

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $\ln (7)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Этап 2.8.2

Добавим $\ln (3 x)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Этап 2.9

Разделим каждый член $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Разделим каждый член $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ на $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 2.9.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 2.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 2.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $7^{x - 1}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3.2

Развернем $\ln (7^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3.3

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Этап 4.2.3.3.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $0$ и $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Этап 4.3.4

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Этап 4.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Этап 4.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$