Алгебра Примеры

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x + 4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 9}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x + 4}{{(x + 3)}^{2}}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

Этап 4.3

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

Этап 4.4

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} - \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 4) (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 4) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 3) + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 (x - 3) - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 3 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 3 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 12 - (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 1 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{2} + x - 12 - x - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.6

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 - 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Этап 6.7

Вычтем $3$ из $- 12$ .

$\frac{x^{2} - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$