Алгебра Примеры

$y = 4 x^{2} + 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4 y^{2} + 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4 y^{2} + 3 = x$ .

$4 y^{2} + 3 = x$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} = x - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 y^{2} = x - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = x - 3$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 3}{4}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{x - 3}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 2.5.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x - 3)}$

Этап 2.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x - 3}$

Этап 2.5.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ обратной к $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 4 x^{2} + 3$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[3, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 3 \geq 0$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[3, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 4 x^{2} + 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 4 x^{2} + 3$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$ — обратная к $f (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x - 3}}{2}$

Этап 5