Алгебра Примеры

$y = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{5 π}{6} (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5 π}{6} (x + 4)$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 π}{6} (x + 4)])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) \frac{d}{d x} [\frac{5 π}{6} (x + 4)])$

Этап 1.2.3

Поскольку $\frac{5 π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 π}{6} (x + 4)$ по $x$ равна $\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x + 4]$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (1 + \frac{d}{d x} [4])))$

Этап 1.2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (1 + 0)))$

Этап 1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} \cdot 1))$

Этап 1.2.8

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $1$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) \frac{5 π}{6})$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{5 π}{6}$ и $\sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ .

$0 + 4 (- \frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6})$

Этап 1.2.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 - 4 \frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6}$

Этап 1.2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6}$ .

$0 + \frac{- 4 (5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Этап 1.2.12

Умножим $5$ на $- 4$ .

$0 + \frac{- 20 (π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Этап 1.2.13

Сократим общий множитель $- 20$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ .

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Этап 1.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{2 (3)}$

Этап 1.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{3}$

Этап 1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{3}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{5 π}{6} \cdot 4)}{3}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $\frac{5 π}{6}$ и $4$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{5 π \cdot 4}{6})}{3}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{20 π}{6})}{3}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель $20$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $20 π$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{6})}{3}$

Этап 1.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{2 (3)})}{3}$

Этап 1.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{2 \cdot 3})}{3}$

Этап 1.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{10 π}{3})}{3}$

Этап 1.3.2.4

Объединим $\frac{5 π}{6}$ и $x$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$

Этап 1.3.2.5

Вычтем $\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$ из $0$ .

$- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{10 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$ по $x$ равна $- \frac{10 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ и $\frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) (10 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Этап 2.3.2

Перенесем $10$ влево от $\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cdot (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 π x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 π}{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{5 π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 π x}{6}$ по $x$ равна $\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{10 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10 π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} + 0)$

Этап 2.3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $\frac{5 π}{6}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π (10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{6 \cdot 3}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $10$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{6 \cdot 3}$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 (π π) \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 (π π) \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{50 π^{1 + 1} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $6$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{18}$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $50$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{18}$

Этап 2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{2 (9)}$

Этап 2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{2 \cdot 9}$

Этап 2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$ на $10 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$ на $10 π$ .

$\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{10 π} = \frac{0}{10 π}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{10 π} = \frac{0}{10 π}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{π} = \frac{0}{10 π}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{π} = \frac{0}{10 π}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ на $1$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{0}{10 π}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $0$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 (0)}{10 π}$

Этап 5.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10 π$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 (0)}{10 (π)}$

Этап 5.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 \cdot 0}{10 π}$

Этап 5.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{0}{π}$

Этап 5.1.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = \arcsin (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = 0$

Этап 5.4

Вычтем $\frac{10 π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 π x}{6} = - \frac{10 π}{3}$

Этап 5.5

Умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5 π}$ .

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим $\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6.1.1.2

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.2.1

Вынесем множитель $5 π$ из $5 π x$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (x)) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Этап 5.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим $\frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 π}{3}$ в числитель.

$x = \frac{6}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Этап 5.6.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{3 (2)}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Этап 5.6.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Этап 5.6.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{5 π} (- 10 π)$

Этап 5.6.2.1.2

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Вынесем множитель $5 π$ из $- 10 π$ .

$x = \frac{2}{5 π} (5 π (- 2))$

Этап 5.6.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{5 π} (5 π \cdot - 2)$

Этап 5.6.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot - 2$

Этап 5.6.2.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = - 4$

Этап 5.7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = π - 0$

Этап 5.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = π$

Этап 5.8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Вычтем $\frac{10 π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 π x}{6} = π - \frac{10 π}{3}$

Этап 5.8.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 π x}{6} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{10 π}{3}$

Этап 5.8.2.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{10 π}{3}$

Этап 5.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π x}{6} = \frac{π \cdot 3 - 10 π}{3}$

Этап 5.8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{3 \cdot π - 10 π}{3}$

Этап 5.8.2.5.2

Вычтем $10 π$ из $3 π$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{- 7 π}{3}$

Этап 5.8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 π x}{6} = - \frac{7 π}{3}$

Этап 5.8.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5 π}$ .

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1

Упростим $\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4.1.1.2

Сократим общий множитель $5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $5 π$ из $5 π x$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (x)) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Этап 5.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1

Упростим $\frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 π}{3}$ в числитель.

$x = \frac{6}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Этап 5.8.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{3 (2)}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Этап 5.8.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Этап 5.8.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{5 π} (- 7 π)$

Этап 5.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (- 7 π)$

Этап 5.8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- 7 π$ .

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (π \cdot - 7)$

Этап 5.8.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (π \cdot - 7)$

Этап 5.8.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{5} \cdot - 7$

Этап 5.8.4.2.1.3

Объединим $\frac{2}{5}$ и $- 7$ .

$x = \frac{2 \cdot - 7}{5}$

Этап 5.8.4.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 14}{5}$

Этап 5.8.4.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{14}{5}$

Этап 5.9

Решение уравнения $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = 0$ .

$x = - 4, - \frac{14}{5}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π (- 4)}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $5 π (- 4)$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{2 (3)} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{2 \cdot 3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π \cdot (- 2)}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 10 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 10 π + 10 π}{3})}{9}$

Этап 7.2.2

Добавим $- 10 π$ и $10 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{0}{3})}{9}$

Этап 7.2.3

Разделим $0$ на $3$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (0)}{9}$

Этап 7.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cdot 1}{9}$

Этап 7.2.5

Умножим $25$ на $1$ .

$- \frac{25 π^{2}}{9}$

Этап 8

$x = - 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot ((- 4) + 4))$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot 0)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $0$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (0)$

Этап 9.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cdot 1$

Этап 9.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f (- 4) = - 3 + 4$

Этап 9.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (- 4) = 1$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = - \frac{14}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π (- \frac{14}{5})}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 5 π \frac{14}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{14}{5}$ и $- 5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{14 \cdot - 5}{5} π}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.1.3

Объединим $\frac{14 \cdot - 5}{5}$ и $π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{14 \cdot - 5 π}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.2

Умножим $14$ на $- 5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 70 π}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим выражение $\frac{- 70 π}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 70 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5 (1)}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5 \cdot 1}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 14 π}{1}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.3.2

Разделим $- 14 π$ на $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 14 π}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Сократим общий множитель $- 14$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{2 (3)} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{2 \cdot 3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 7 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25 π^{2} \cos (- \frac{7 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 7 π + 10 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.3

Добавим $- 7 π$ и $10 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{3 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{3 π}{3})}{9}$

Этап 11.4.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (π)}{9}$

Этап 11.4.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{25 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Этап 11.4.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{25 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Этап 11.4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Этап 11.4.8

Умножим $- 1$ на $25$ .

$- \frac{- 25 π^{2}}{9}$

Этап 11.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{25 π^{2}}{9}$

Этап 11.6

Умножим $- - \frac{25 π^{2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{25 π^{2}}{9}$

Этап 11.6.2

Умножим $\frac{25 π^{2}}{9}$ на $1$ .

$\frac{25 π^{2}}{9}$

Этап 12

$x = - \frac{14}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{14}{5}$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = - \frac{14}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{14}{5}$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot ((- \frac{14}{5}) + 4))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (- \frac{14}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}))$

Этап 13.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (- \frac{14}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}))$

Этап 13.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{- 14 + 4 \cdot 5}{5})$

Этап 13.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Умножим $4$ на $5$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{- 14 + 20}{5})$

Этап 13.2.1.4.2

Добавим $- 14$ и $20$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Этап 13.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 (π)}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Этап 13.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Этап 13.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{π}{6} \cdot 6)$

Этап 13.2.1.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{π}{6} \cdot 6)$

Этап 13.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (π)$

Этап 13.2.1.7

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 (- \cos (0))$

Этап 13.2.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.1.9

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cdot - 1$

Этап 13.2.1.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 - 4$

Этап 13.2.2

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 7$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))$ .

$(- 4, 1)$ — локальный максимум

$(- \frac{14}{5}, - 7)$ — локальный минимум

Этап 15