Алгебра Примеры

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

Этап 1.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.2

Объединим $- x$ и $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4.4

Добавим $3 x$ и $4 x$ .

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Этап 2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $7 x$ и $x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7.3

Добавим $- x^{2} + 8 x$ и $0$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7.4.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.7.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.9

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.11

Перепишем $- (x - 8)$ в виде $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 5

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 6

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, 8, 4$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 9.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

Этап 11.3.3

Левая часть $11$ больше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

Этап 11.4.3

Левая часть $5.\overline{6}$ меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x < 4$ или $x \geq 8$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

Этап 14