Алгебра Примеры

${(p + \frac{1}{p})}^{5}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{5} \frac{5!}{(5 - k)! k!} \cdot {(p)}^{5 - k} \cdot {(\frac{1}{p})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{5!}{(5 - 0)! 0!} {(p)}^{5 - 0} \cdot {(\frac{1}{p})}^{0} + \frac{5!}{(5 - 1)! 1!} {(p)}^{5 - 1} \cdot {(\frac{1}{p})}^{1} + \dots + \frac{5!}{(5 - 5)! 5!} {(p)}^{5 - 5} \cdot {(\frac{1}{p})}^{5}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(p)}^{5} \cdot {(\frac{1}{p})}^{0} + 5 \cdot {(p)}^{4} \cdot {(\frac{1}{p})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(\frac{1}{p})}^{5}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + \frac{1}{p^{5}}$