Алгебра Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

Этап 1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{4} + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 + 2 \cdot 27 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $27$ .

$81 + 54 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.5

Добавим $81$ и $54$ .

$135 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$135 - 23 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 23$ на $9$ .

$135 - 207 - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.8

Вычтем $207$ из $135$ .

$- 72 - 24 \cdot 3 + 144$

Этап 1.1.3.9

Умножим $- 24$ на $3$ .

$- 72 - 72 + 144$

Этап 1.1.3.10

Вычтем $72$ из $- 72$ .

$- 144 + 144$

Этап 1.1.3.11

Добавим $- 144$ и $144$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144}{x - 3}$

Этап 1.1.5

Разделим $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 24 x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 48 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 48 x + 144$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

$0$

Этап 1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$

Этап 1.1.6

Запишем $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48) = 0$

Этап 1.2

Разложим $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Этап 1.2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 1.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 1.2.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 1.2.3.4

Умножим $5$ на $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 1.2.3.5

Добавим $27$ и $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Этап 1.2.3.6

Умножим $- 8$ на $3$ .

$72 - 24 - 48$

Этап 1.2.3.7

Вычтем $24$ из $72$ .

$48 - 48$

Этап 1.2.3.8

Вычтем $48$ из $48$ .

$0$

Этап 1.2.4

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48}{x - 3}$

Этап 1.2.5

Разделим $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

Этап 1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$

Этап 1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$

Этап 1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

Этап 1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

Этап 1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							+	$16 x$	-	$48$

Этап 1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 48$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$

Этап 1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$
										$0$

Этап 1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 8 x + 16$

Этап 1.2.6

Запишем $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 16)) = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 1.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 1.3.1.3

Перепишем многочлен.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 1.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x - 3) ((x - 3) {(x + 4)}^{2}) = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.4.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 3)}^{1 + 1} {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим ${(x + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 3$ (кратно $2$ )

$x = - 4$ (кратно $2$ )

Этап 6