Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$ к $0$ .

$x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$5 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x) + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2)$ .

$5 x^{2} (x + 2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Этап 2.1.3

Разложим $x^{4} + 20 x + 24$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Этап 2.1.3.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{4} + 20 \cdot - 2 + 24$

Этап 2.1.3.3.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 + 20 \cdot - 2 + 24$

Этап 2.1.3.3.3

Умножим $20$ на $- 2$ .

$16 - 40 + 24$

Этап 2.1.3.3.4

Вычтем $40$ из $16$ .

$- 24 + 24$

Этап 2.1.3.3.5

Добавим $- 24$ и $24$ .

$0$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 20 x + 24}{x + 2}$

Этап 2.1.3.5

Разделим $x^{4} + 20 x + 24$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 2.1.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Этап 2.1.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Этап 2.1.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Этап 2.1.3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x + 24$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Этап 2.1.3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

$0$

Этап 2.1.3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12$

Этап 2.1.3.6

Запишем $x^{4} + 20 x + 24$ в виде набора множителей.

$5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x + 2$ из $5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $5 x^{2} (x + 2)$ .

$(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Этап 2.1.4.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

$(x + 2) (5 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Этап 2.1.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Перепишем $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 4 x + 12) = 0$

Этап 2.1.6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x^{2} (x + 3) + 4 (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 2.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 2.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 2.5.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 2.5.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, - 3, 2 i, - 2 i$

Этап 3