Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{4}}{7} + 27$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{4}}{7} + 27$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$ .

$\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$

Этап 3.2

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{4}}{7} = x - 27$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

Этап 3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

Этап 3.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 7 (x - 27)$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $7 (x - 27)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} = 7 x + 7 \cdot - 27$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $7$ на $- 27$ .

$y^{4} = 7 x - 189$

Этап 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{7 x - 189}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $7$ из $7 x - 189$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x) - 189}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $7$ из $- 189$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 x + 7 \cdot - 27}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $7$ из $7 x + 7 \cdot - 27$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[27, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$7 (x - 27) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $7 (x - 27) \geq 0$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $7 (x - 27) \geq 0$ на $7$ .

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $x - 27$ на $1$ .

$x - 27 \geq \frac{0}{7}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $7$ .

$x - 27 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $27$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 27$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[27, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Этап 6