Алгебра Примеры

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 e^{- 4 y + 1} = x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 e^{- 4 y + 1} = x$ на $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $e^{- 4 y + 1}$ на $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{- 4 y + 1})$ , вынося $- 4 y + 1$ из логарифма.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4 y + 1$ на $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 2.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Этап 2.6

Разделим каждый член $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.6.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ обратной к $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Этап 4.2.4.1.2

Разделим $e^{- 4 x + 1}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Этап 4.2.4.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 4 x + 1$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Этап 4.2.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $- 4 x + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Этап 4.2.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Этап 4.2.4.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Этап 4.2.4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $4 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.1.2

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.1.4

Применим правило умножения к $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.3

Умножим $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.3.2

Упростим $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 4.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Этап 4.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.2.2

Упростим.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.3.1

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5.3.2

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Этап 4.3.4.2

Добавим $\ln (\frac{x}{3})$ и $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Этап 4.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 4.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ — обратная к $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$