Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - x = y + 1$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - x - y = 1$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 1 + x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 1 + x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 1 + x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Этап 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Этап 5.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.8.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2.8.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Этап 5.2.8.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Этап 5.2.8.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Этап 5.2.8.6

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Этап 5.2.8.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.3

Добавим $x + x$ и $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.4

Добавим $x$ и $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Этап 5.3.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Этап 5.3.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Этап 5.3.7.6

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Этап 5.3.7.7

Добавим $0$ и $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$