Алгебра Примеры

$\frac{9}{20 m^{4} + 100 m^{3}} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $20 m^{3}$ из $20 m^{4} + 100 m^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $20 m^{3}$ из $20 m^{4}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m) + 100 m^{3}} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $20 m^{3}$ из $100 m^{3}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m) + 20 m^{3} (5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $20 m^{3}$ из $20 m^{3} (m) + 20 m^{3} (5)$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 m$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 (m) + 5}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $16$ как $1$ плюс $15$

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + (1 + 15) m + 5}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 1 m + 15 m + 5}$

Этап 1.2.1.4

Умножим $m$ на $1$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + m + 15 m + 5}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m^{2} + m) + 15 m + 5}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{m (3 m + 1) + 5 (3 m + 1)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 m + 1$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 m + 1}{3 m + 1}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} \cdot \frac{3 m + 1}{3 m + 1} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} \cdot \frac{3 m + 1}{3 m + 1} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)} \cdot \frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20 (m + 5) (3 m + 1) m^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)}$ на $\frac{3 m + 1}{3 m + 1}$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)} \cdot \frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$ на $\frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 (3 m + 1) - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (3 m) + 9 \cdot 1 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27 m + 9 \cdot 1 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.3

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{2} m^{3}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.5

Умножим $m^{2}$ на $m^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $m^{3}$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 (m^{3} m^{2})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{3 + 2}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.5.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{5}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.6

Умножим $- 2$ на $20$ .

$\frac{27 m + 9 - 40 m^{5}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 6.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- 40 m^{5} + 27 m + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 40 m^{5}$ .

$\frac{- (40 m^{5}) + 27 m + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $27 m$ .

$\frac{- (40 m^{5}) - (- 27 m) + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (40 m^{5}) - (- 27 m)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m) + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.4

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m) - 1 (- 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (40 m^{5} - 27 m) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m - 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $- (40 m^{5} - 27 m - 9)$ в виде $- 1 (40 m^{5} - 27 m - 9)$ .

$\frac{- 1 (40 m^{5} - 27 m - 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Этап 7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{40 m^{5} - 27 m - 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$