Алгебра Примеры

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Этап 1

Запишем $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ в виде уравнения.

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ .

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 25$ , $b = 70$ и $c = 49 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $70$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 100$ на $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $4900$ из $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.7

Добавим $0$ и $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $70$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 100$ на $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $4900$ из $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.7

Добавим $0$ и $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.6.5

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

Этап 3.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $70$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 100$ на $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.6

Вычтем $4900$ из $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.7

Добавим $0$ и $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 - \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.7.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

Этап 3.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

Этап 3.7.5.4

Перепишем $- 1 (7 + \sqrt{x})$ в виде $- (7 + \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

Этап 3.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ обратной к $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 5.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ , представляет область определения $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ — обратная к $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Этап 6