Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$

Этап 1

Приравняем $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ к $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \cdot 8 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 1 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $4$ из $16$ .

$12 - 9 \cdot 2 + 6$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 9$ на $2$ .

$12 - 18 + 6$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $18$ из $12$ .

$- 6 + 6$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$

Этап 2.1.5

Разделим $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$6$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 6 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 6$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 3 x - 3$

Этап 2.1.6

Запишем $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4

Приравняем $2 x^{2} + 3 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x^{2} + 3 x - 3$ к $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 3$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $9$ и $24$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{4}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$ верно.

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 2, 0.68614066 \dots, - 2.18614066 \dots$

Этап 4