Алгебра Примеры

${(m + \frac{1}{m})}^{6}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{6!}{(6 - k)! k!} \cdot {(m)}^{6 - k} \cdot {(\frac{1}{m})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{6!}{(6 - 0)! 0!} {(m)}^{6 - 0} \cdot {(\frac{1}{m})}^{0} + \frac{6!}{(6 - 1)! 1!} {(m)}^{6 - 1} \cdot {(\frac{1}{m})}^{1} + \dots + \frac{6!}{(6 - 6)! 6!} {(m)}^{6 - 6} \cdot {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(m)}^{6} \cdot {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 \cdot {(m)}^{5} \cdot {(\frac{1}{m})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1}{m^{6}}$