Алгебра Примеры

По правилу суммы производная ${\displaystyle -1+6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-1]+\frac{d}{dx}\left[6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle 6}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 6\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2\pi }{7}(x-5)}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}(x-5)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}[x-5]}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x-5}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-5]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle -5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -5}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ и ${\displaystyle \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 6}$.

Объединим ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle \frac{2\pi \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}{7}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -6}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Применим свойство дистрибутивности.

Объединим термины.

Чтобы применить цепное правило, зададим ${\displaystyle u}$ как ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Производная ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ по ${\displaystyle u}$ равна ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Заменим все вхождения ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Объединим ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$ и ${\displaystyle \frac{12\pi }{7}}$.

Перенесем ${\displaystyle 12}$ влево от ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2\pi x}{7}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{10\pi }{7}]}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Разделим каждый член ${\displaystyle 12\pi \sin (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})=0}$ на ${\displaystyle 12\pi }$.

Упростим левую часть.

Упростим правую часть.

Точное значение ${\displaystyle \arcsin \left(0\right)}$: ${\displaystyle 0}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle 2\pi x=10\pi }$ на ${\displaystyle 2\pi }$.

Упростим левую часть.

Упростим правую часть.

Вычтем ${\displaystyle 0}$ из ${\displaystyle \pi }$.

Перенесем все члены без ${\displaystyle x}$ в правую часть уравнения.

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

Разделим каждый член ${\displaystyle 2\pi x=17\pi }$ на ${\displaystyle 2\pi }$ и упростим.

Объединим числители над общим знаменателем.

Вычтем ${\displaystyle 10\pi }$ из ${\displaystyle 10\pi }$.

Разделим ${\displaystyle 0}$ на ${\displaystyle 7}$.

Точное значение ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$: ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle 24}$ на ${\displaystyle 1}$.

Упростим каждый член.

Добавим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle 6}$.

Окончательный ответ: ${\displaystyle 5}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{17}{2}}$ и ${\displaystyle 2}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{17\cdot 2}{2}}$ и ${\displaystyle \pi }$.

Сократим выражение ${\displaystyle \frac{34\pi }{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Разделим ${\displaystyle 17\pi }$ на ${\displaystyle 1}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Вычтем ${\displaystyle 10\pi }$ из ${\displaystyle 17\pi }$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 7}$.

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

Точное значение ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$: ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 24}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{24{\pi }^2}{49}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Упростим каждый член.