Алгебра Примеры

$f (x) = - (x + 9) (x - 21)$

Этап 1

Запишем $f (x) = - (x + 9) (x - 21)$ в виде уравнения.

$y = - (x + 9) (x - 21)$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $- (x + 9) (x - 21)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x - 1 \cdot 9) (x - 21)$

Этап 2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$(- x - 9) (x - 21)$

Этап 2.1.1.3

Развернем $(- x - 9) (x - 21)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x - 21) - 9 (x - 21)$

Этап 2.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x - x \cdot - 21 - 9 (x - 21)$

Этап 2.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Этап 2.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Этап 2.1.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Этап 2.1.1.4.1.2

Умножим $- 21$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 21 x - 9 x - 9 \cdot - 21$

Этап 2.1.1.4.1.3

Умножим $- 9$ на $- 21$ .

$- x^{2} + 21 x - 9 x + 189$

Этап 2.1.1.4.2

Вычтем $9 x$ из $21 x$ .

$- x^{2} + 12 x + 189$

Этап 2.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 189$

Этап 2.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Этап 2.1.4.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$d = - 6$

Этап 2.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 189 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 189 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 189 - \frac{144}{- 4}$

Этап 2.1.5.2.1.3

Разделим $144$ на $- 4$ .

$e = 189 - - 36$

Этап 2.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 189 + 36$

Этап 2.1.5.2.2

Добавим $189$ и $36$ .

$e = 225$

Этап 2.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 6)}^{2} + 225$ .

$- {(x - 6)}^{2} + 225$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 6)}^{2} + 225$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 6$

$k = 225$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(6, 225)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, \frac{899}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 6$

Этап 9