Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} x + 10$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2}{3} x + 10$ в виде уравнения.

$y = \frac{2}{3} x + 10$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2}{3} y + 10$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{3} y + 10 = x$ .

$\frac{2}{3} y + 10 = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y$ .

$\frac{2 y}{3} + 10 = x$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 y}{3} = x - 10$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{2} (x - 10)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $\frac{3}{2} (x - 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 10$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 10$

Этап 3.5.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 5))$

Этап 3.5.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 5)$

Этап 3.5.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 5$

Этап 3.5.2.1.4

Умножим $3$ на $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 15$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 15$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 15$ обратной к $f (x) = \frac{2}{3} x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + 10)}{2} - 15$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 10)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x}{3} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3}) + 10)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3}) + 2 \cdot 5)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{x}{3} + 2 \cdot 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3} + 5))}{2} - 15$

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{3 \cdot (2 (\frac{x}{3} + 5))}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{6 (\frac{x}{3} + 5)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.4

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{6 (\frac{x}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.5

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{6 (\frac{x}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{6 (\frac{x + 5 \cdot 3}{3})}{2} - 15$

Этап 5.2.3.1.7

Умножим $5$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{6 (\frac{x + 15}{3})}{2} - 15$

Этап 5.2.3.2

Объединим $6$ и $\frac{x + 15}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{\frac{6 (x + 15)}{3}}{2} - 15$

Этап 5.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{6 (x + 15)}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 (x + 15)$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{\frac{3 (2 (x + 15))}{3}}{2} - 15$

Этап 5.2.3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{\frac{3 (2 (x + 15))}{3 (1)}}{2} - 15$

Этап 5.2.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{\frac{3 (2 (x + 15))}{3 \cdot 1}}{2} - 15$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{\frac{2 (x + 15)}{1}}{2} - 15$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим $2 (x + 15)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{2 (x + 15)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = \frac{2 (x + 15)}{2} - 15$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $x + 15$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = x + 15 - 15$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 15 - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $15$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 10) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3 x}{2} - 15)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} - 15) + 10$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x + \frac{2}{3} \cdot - 15 + 10$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 5)) + 10$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 5) + 10$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x + 2 \cdot - 5 + 10$

Этап 5.3.3.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x - 10 + 10$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 15) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 15$ — обратная к $f (x) = \frac{2}{3} x + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 15$