Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2 \sqrt{10}$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{10})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 10^{1} + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 10 + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $4$ на $10$ .

$\sqrt{40 + {(9)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{40 + 81}$

Этап 4.3.3.3

Добавим $40$ и $81$ .

$\sqrt{121}$

Этап 4.3.3.4

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\sqrt{11^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$11$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(11, 0)$

Этап 5.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 11, 0)$

Этап 5.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(11, 0), (- 11, 0)$

Этап 6