Алгебра Примеры

y = 5 x^{2} + 10

$y = 5 x^{2} + 10$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

x = 5 y^{2} + 10

$x = 5 y^{2} + 10$

Этап 2

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде

$5 y^{2} + 10 = x$ .

$5 y^{2} + 10 = x$

Этап 2.2

Вычтем

$10$ из обеих частей уравнения.

$5 y^{2} = x - 10$

Этап 2.3

Разделим каждый член

$5 y^{2} = x - 10$ на

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член

$5 y^{2} = x - 10$ на

$5$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим

$y^{2}$ на

$1$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим

$- 10$ на

$5$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} - 2$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$

Этап 2.5

Упростим

$\pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать

$- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 2.5.2

Объединим

$- 2$ и

$\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 2 \cdot 5}{5}}$

Этап 2.5.4

Умножим

$- 2$ на

$5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 10}{5}}$

Этап 2.5.5

Перепишем

$\sqrt{\frac{x - 10}{5}}$ в виде

$\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.6

Умножим

$\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ на

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Умножим

$\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ на

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.7.2

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.7.3

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.5.7.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.7.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.5.7.6

Перепишем

${\sqrt{5}}^{2}$ в виде

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{5}$ в виде

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.7.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.7.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.5.7.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5}$

Этап 2.5.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$

Этап 2.5.9

Изменим порядок множителей в

$\pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 4

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ обратной к

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ и

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений

$y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[10, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения

$\frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{5 (x - 10)}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 (x - 10) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член

$5 (x - 10) \geq 0$ на

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член

$5 (x - 10) \geq 0$ на

$5$ .

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим

$x - 10$ на

$1$ .

$x - 10 \geq \frac{0}{5}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим

$0$ на

$5$ .

$x - 10 \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим

$10$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 10$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

$[10, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ представляет множество значений, определяемых уравнением

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ , а множество значений, определяемое уравнениями

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ , представляет область определения

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ — обратная к

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Этап 5