Алгебра Примеры

$y = 4^{2 x + 9}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4^{2 y + 9}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4^{2 y + 9} = x$ .

$4^{2 y + 9} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (4^{2 y + 9})$ , вынося $2 y + 9$ из логарифма.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Этап 2.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Этап 2.6

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $9 \ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Этап 2.6.2

Добавим $\ln (x)$ к обеим частям уравнения.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Этап 2.7

Разделим каждый член $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ на $2 \ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ на $2 \ln (4)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.2.2

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 2.7.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ обратной к $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Развернем $\ln (4^{2 x + 9})$ , вынося $2 x + 9$ из логарифма.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Этап 4.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Этап 4.2.4.2

Объединим противоположные члены в $- 9 + 2 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Упростим $2 \ln (4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Этап 4.3.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Этап 4.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Этап 4.3.3.4.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Этап 4.3.4.2

Добавим $0$ и $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ — обратная к $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$