Алгебра Примеры

$y = 3 x^{3} - 5$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y^{3} - 5$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 y^{3} - 5 = x$ .

$3 y^{3} - 5 = x$

Этап 2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{3} = x + 5$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 y^{3} = x + 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 y^{3} = x + 5$ на $3$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 2.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 2.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 2.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 2.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 2.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 2.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 2.5.5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 2.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$

Этап 2.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ обратной к $f (x) = 3 x^{3} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 x^{3} - 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 ((3 x^{3} - 5) + 5)}}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 (3 x^{3} + 0)}}{3}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $3 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot (3 x^{3})}}{3}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $9$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Этап 4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 {(\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})}^{3} - 5$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}$ в виде $9 (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9 (x + 5)}$ в виде ${(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{({(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.3

Умножим $9$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 45}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x) + 45}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $9$ из $9 x + 9 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Этап 4.3.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{27}) - 5$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 (9)}) - 5$

Этап 4.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 \cdot 9}) - 5$

Этап 4.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Этап 4.3.3.5.2

Разделим $x + 5$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 5 - 5$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ — обратная к $f (x) = 3 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$