Алгебра Примеры

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ в виде уравнения.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ на $50000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ на $50000$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $50000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${0.8}^{y}$ на $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Этап 3.4

Развернем $\ln ({0.8}^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Этап 3.5

Разделим каждый член $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ на $\ln (0.8)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ на $\ln (0.8)$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (0.8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ обратной к $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $50000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Этап 5.2.3.2

Разделим ${(0.8)}^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Этап 5.2.4

Развернем $\ln ({(0.8)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $\ln (0.8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Этап 5.3.3

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Этап 5.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $50000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ — обратная к $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$