Алгебра Примеры

$y + 7.5 = 2 {(x + 2.5)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $7.5$ из обеих частей уравнения.

$y = 2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x + 2.5)}^{2}$ в виде $(x + 2.5) (x + 2.5)$ .

$2 ((x + 2.5) (x + 2.5)) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x + 2.5) (x + 2.5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x + 2.5) + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Перенесем $2.5$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} + 2.5 \cdot x + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $2.5$ на $2.5$ .

$2 (x^{2} + 2.5 x + 2.5 x + 6.25) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.3.2

Добавим $2.5 x$ и $2.5 x$ .

$2 (x^{2} + 5 x + 6.25) - 7.5$

Этап 1.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Этап 1.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Этап 1.2.1.1.5.2

Умножим $2$ на $6.25$ .

$2 x^{2} + 10 x + 12.5 - 7.5$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $7.5$ из $12.5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 5$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 5$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель $5$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перепишем $5$ в виде $1 (5)$ .

$d = \frac{1 (5)}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{8}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Сократим общий множитель $100$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$e = 5 - \frac{4 (25)}{8}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 5 - \frac{25}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 25}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$e = \frac{10 - 25}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Вычтем $25$ из $10$ .

$e = \frac{- 15}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Сократим общий множитель $- 15$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.1

Перепишем $- 15$ в виде $1 (- 15)$ .

$e = \frac{1 (- 15)}{2}$

Этап 1.2.5.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$e = \frac{- 15}{2}$

Этап 1.2.5.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{15}{2}$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{15}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{15}{2})$

Этап 4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 4.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 5

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 5.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{61}{8}$

Этап 6