Алгебра Примеры

$x^{2} + 2 x \geq 15$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 2 x = 15$

Этап 2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} + 2 (- 8) \geq 15$

Этап 9.1.3

Левая часть $48$ больше правой части $15$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 2 (0) \geq 15$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $15$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 2 (6) \geq 15$

Этап 9.3.3

Левая часть $48$ больше правой части $15$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 5$ или $x \geq 3$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5] \cup [3, \infty)$

Этап 12