Алгебра Примеры

$y = e^{x + 3} - 4$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = e^{y + 3} - 4$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $e^{y + 3} - 4 = x$ .

$e^{y + 3} - 4 = x$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$e^{y + 3} = x + 4$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{y + 3})$ , вынося $y + 3$ из логарифма.

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

Этап 2.4.3

Умножим $y + 3$ на $1$ .

$y + 3 = \ln (x + 4)$

Этап 2.5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \ln (x + 4) - 3$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ обратной к $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

Этап 4.2.3.2

Добавим $e^{x + 3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 3$ из степени.

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

Этап 4.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

Этап 4.2.4.3

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\ln (x + 4) - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\ln (x + 4)$ и $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ — обратная к $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$