Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{4} x^{3} - 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} y^{3} - 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$ .

$\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{4} - 2 = x$

Этап 2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{3}}{4} = x + 2$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 4 (x + 2)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $4 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 4 x + 4 \cdot 2$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y^{3} = 4 x + 8$

Этап 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x + 8}$

Этап 2.7

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x) + 8}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \sqrt[3]{4 x + 4 \cdot 2}$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 ((\frac{1}{4} x^{3} - 2) + 2)}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} - 2 + 2)}$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + 0)}$

Этап 4.2.4.2

Добавим $\frac{x^{3}}{4}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4})}$

Этап 4.2.5

Объединим $4$ и $\frac{x^{3}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Этап 4.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим выражение $\frac{4 x^{3}}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Этап 4.2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Этап 4.2.6.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 4.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{4 (x + 2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 (x + 2)})}^{3} - 2$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4 (x + 2)}}^{3}$ в виде $4 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 (x + 2)}$ в виде ${(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 2$

Этап 4.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Этап 4.3.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Этап 4.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Этап 4.3.3.1.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 2 - 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$