Алгебра Примеры

$x^{3} - 6 x = 3 x^{2} - 8$

Этап 1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 6 x - 3 x^{2} = - 8$

Этап 2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} - 6 x - 3 x^{2} + 8 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 3.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 - 6 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 - 6 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.3.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 2 - 6 + 8$

Этап 3.2.3.7

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$- 8 + 8$

Этап 3.2.3.8

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 3.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8}{x - 1}$

Этап 3.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$6 x$

$8$

Этап 3.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$

Этап 3.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 3.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 3.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 3.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 3.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 3.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 3.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 3.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$

Этап 3.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$	+	$8$

Этап 3.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$	+	$8$

Этап 3.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$	+	$8$
							-	$8 x$	+	$8$

Этап 3.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$	+	$8$
							+	$8 x$	-	$8$

Этап 3.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$8 x$	+	$8$
							+	$8 x$	-	$8$
										$0$

Этап 3.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 8$

Этап 3.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 3.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, 4, - 2$

Этап 9