Алгебра Примеры

$y = \log_{2} (x + 7)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{2} (y + 7)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{2} (y + 7) = x$ .

$\log_{2} (y + 7) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{2} (y + 7) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 7$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $y + 7 = 2^{x}$ .

$y + 7 = 2^{x}$

Этап 2.3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = 2^{x} - 7$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ обратной к $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{2} (x + 7))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = 2^{\log_{2} (x + 7)} - 7$

Этап 4.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 7 - 7$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2^{x} - 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} ((2^{x} - 7) + 7)$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(2^{x} - 7) + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $2^{x}$ и $0$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (2^{x} - 7) = x \log_{2} (2)$

Этап 4.3.5

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x \cdot 1$

Этап 4.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ — обратная к $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$