Алгебра Примеры

${(5 x - 2 y)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(5 x)}^{3 - k} \cdot {(- 2 y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(5 x)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(5 x)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(5 x)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(5 x)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(5 x)}^{3} \cdot {(- 2 y)}^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(5 x)}^{3}$ на $1$ .

${(5 x)}^{3} \cdot {(- 2 y)}^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $5 x$ .

$5^{3} x^{3} \cdot {(- 2 y)}^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 x^{3} \cdot {(- 2 y)}^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$125 x^{3} \cdot ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$125 \cdot {(- 2)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $125$ на $1$ .

$125 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.9

Умножим $125$ на $1$ .

$125 x^{3} + 3 \cdot {(5 x)}^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $5 x$ .

$125 x^{3} + 3 \cdot (5^{2} x^{2}) \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.11

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 x^{3} + 3 \cdot (25 x^{2}) \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.12

Умножим $25$ на $3$ .

$125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot {(- 2 y)}^{1} + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.13

Упростим.

$125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot (- 2 y) + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$125 x^{3} + 75 \cdot - 2 x^{2} y + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $75$ на $- 2$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 3 \cdot {(5 x)}^{1} \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.16

Упростим.

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 3 \cdot (5 x) \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.17

Умножим $5$ на $3$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 15 x \cdot {(- 2 y)}^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 15 x \cdot ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 15 \cdot {(- 2)}^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.20

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 15 \cdot 4 x y^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.21

Умножим $15$ на $4$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + 1 \cdot {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.22

Умножим ${(5 x)}^{0}$ на $1$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + {(5 x)}^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $5 x$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + 5^{0} x^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.25

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + x^{0} \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.26

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + 1 \cdot {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.27

Умножим ${(- 2 y)}^{3}$ на $1$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} + {(- 2)}^{3} y^{3}$

Этап 4.29

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$125 x^{3} - 150 x^{2} y + 60 x y^{2} - 8 y^{3}$