Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{y + 2} = 5 x$

Этап 2.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Этап 2.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $\ln (e^{y + 2})$ , вынося $y + 2$ из логарифма.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Этап 2.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Этап 2.5.3

Умножим $y + 2$ на $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Этап 2.6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = \ln (5 x) - 2$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ обратной к $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Этап 4.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Этап 4.2.3.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 2$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Этап 4.2.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Этап 4.2.3.5

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\ln (5 x) - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\ln (5 x)$ и $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$