Алгебра Примеры

$x^{2} \leq 6 x - 6$

Этап 1

Вычтем $6 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 6 x \leq - 6$

Этап 2

Добавим $6$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 6 x + 6 \leq 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3 - \sqrt{3}$

$3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$

$x > 3 + \sqrt{3}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 3 - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3 - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} \leq 6 (0) - 6$

Этап 11.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{2} \leq 6 (3) - 6$

Этап 11.2.3

Левая часть $9$ меньше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 3 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3 + \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

${(7)}^{2} \leq 6 (7) - 6$

Этап 11.3.3

Левая часть $49$ больше правой части $36$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3 - \sqrt{3}$ Ложь

$3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$ Истина

$x > 3 + \sqrt{3}$ Ложь

$x < 3 - \sqrt{3}$ Ложь

$3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3}$ Истина

$x > 3 + \sqrt{3}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$3 - \sqrt{3} \leq x \leq 3 + \sqrt{3}$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}]$

Этап 14