Алгебра Примеры

$y = 2 \sqrt[5]{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \sqrt[5]{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sqrt[5]{y} = x$ .

$2 \sqrt[5]{y} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 \sqrt[5]{y} = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 \sqrt[5]{y} = x$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[5]{y}$ на $1$ .

$\sqrt[5]{y} = \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{2^{5}}$

Этап 2.4.3.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$y = \frac{x^{5}}{32}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ обратной к $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{{(2 \sqrt[5]{x})}^{5}}{32}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{2^{5} {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{32}$

Этап 4.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{32}$

Этап 4.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Этап 4.2.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Этап 4.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Этап 4.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{5}}{32})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Этап 4.3.4

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2^{5}}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $\frac{x^{5}}{2^{5}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{{(\frac{x}{2})}^{5}}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ — обратная к $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$