Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (2 x^{2} + 2 x)$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Этап 6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x + 1)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $2 x (x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (2 x)}$

Этап 9

Перенесем $2$ влево от $x - 1$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x - 1) x}$

Этап 10

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 (x - 1) x}$ .

$\frac{1}{2 x (x - 1)}$