Алгебра Примеры

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $20$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 + 5}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $4$ и $5$ .

$\sqrt{9}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 3)$

Этап 5.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 3)$

Этап 5.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, 3), (0, - 3)$

Этап 6