Алгебра Примеры

$y = 2^{3 x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2^{3 y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2^{3 y - 1} = x$ .

$2^{3 y - 1} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (2^{3 y - 1})$ , вынося $3 y - 1$ из логарифма.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $(3 y - 1) \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Этап 2.4.1.2

Перепишем $- 1 \ln (2)$ в виде $- \ln (2)$ .

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Этап 2.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Этап 2.6

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $\ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Этап 2.6.2

Добавим $\ln (x)$ к обеим частям уравнения.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Этап 2.7

Разделим каждый член $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ на $3 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ на $3 \ln (2)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.2.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 2.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ обратной к $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Развернем $\ln (2^{3 x - 1})$ , вынося $3 x - 1$ из логарифма.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Этап 4.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Этап 4.2.4.2

Объединим противоположные члены в $1 + 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Упростим $3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Этап 4.3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Этап 4.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Этап 4.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Этап 4.3.3.4

Умножим $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Этап 4.3.3.4.2

Упростим $3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Этап 4.3.4.2

Добавим $0$ и $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ — обратная к $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$