Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \div \frac{2 x^{2} + 14 x + 24}{4 x + 4}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 9 (x) + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 9$ как $- 1$ плюс $- 8$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 5

Сократим общий множитель $4 x + 4$ и $2 x^{2} + 14 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 4}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 \cdot 2}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 x^{2} + 14 x + 24}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 14 x + 24}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2}) + 2 (7 x) + 24}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 24}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 7 x) + 2 \cdot 12$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

Этап 5.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (2 x + 2)}{2 (x^{2} + 7 x + 12)}$

Этап 5.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 6

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 7

Разложим $x^{2} + 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 3) (x + 4)$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{(x + 4) (x + 3)}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{x + 3}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{2 x - 1}$ на $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 1}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Этап 11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Этап 12

Разобьем дробь $\frac{2 x + 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$ на две дроби.

$\frac{2 x}{(2 x - 1) (x + 3)} + \frac{2}{(2 x - 1) (x + 3)}$