Алгебра Примеры

x = {(y - 2)}^{2}

$x = {(y - 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ в виде

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ .

x = (y - 2) (y - 2)

$x = (y - 2) (y - 2)$

Этап 1.2

Развернем

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

x = y (y - 2) - 2 (y - 2)

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим

y

$y$ на

y

$y$ .

x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем

- 2

$- 2$ влево от

y

$y$ .

x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим

$- 2$ на

$- 2$ .

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Этап 1.3.2

Вычтем

$2 y$ из

$- 2 y$ .

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для

$y^{2} - 4 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 4$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель

$- 4$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 2.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 2.1.1.3.2.2.4

Разделим

$- 2$ на

$1$ .

$d = - 2$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель

${(- 4)}^{2}$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1.1

Перепишем

$- 4$ в виде

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.4

Умножим

$4^{2}$ на

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.5

Вынесем множитель

$4$ из

$4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Разделим

$4$ на

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$e = 4 - 4$

Этап 2.1.1.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$4$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

${(y - 2)}^{2} + 0$ .

${(y - 2)}^{2} + 0$

Этап 2.1.2

Приравняем

$x$ к новой правой части.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Этап 2.3

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 2.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Этап 2.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате x

$h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 2$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из x-координаты вершины

$h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина:

$(0, 2)$

Фокус:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Ось симметрии:

$y = 2$

Директриса:

$x = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вправо

Вершина:

$(0, 2)$

Фокус:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Ось симметрии:

$y = 2$

Директриса:

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение

$x$

$1$ в

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . В данном случае получится точка

$(1, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Этап 3.1.2.2

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Этап 3.1.2.3

Добавим

$1$ и

$2$ .

$f (1) = 3$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ:

$3$ .

$y = 3$

Этап 3.1.3

Преобразуем

$3$ в десятичное представление.

$= 3$

Этап 3.2

Подставим значение

$x$

$1$ в

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . В данном случае получится точка

$(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Этап 3.2.2.3

Добавим

$- 1$ и

$2$ .

$f (1) = 1$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ:

$1$ .

$y = 1$

Этап 3.2.3

Преобразуем

$1$ в десятичное представление.

$= 1$

Этап 3.3

Подставим значение

$x$

$2$ в

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . В данном случае получится точка

$(2, 3.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ:

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Этап 3.3.3

Преобразуем

$\sqrt{2} + 2$ в десятичное представление.

$= 3.41421356$

Этап 3.4

Подставим значение

$x$

$2$ в

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . В данном случае получится точка

$(2, 0.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Этап 3.4.2.2

Окончательный ответ:

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Этап 3.4.3

Преобразуем

$- \sqrt{2} + 2$ в десятичное представление.

$= 0.58578643$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина:

$(0, 2)$

Фокус:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Ось симметрии:

$y = 2$

Директриса:

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Этап 5