Алгебра Примеры

y = 2 \cos (3 x)

$y = 2 \cos (3 x)$

Этап 1

Применим форму

a \cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

a = 2

$a = 2$

b = 3

$b = 3$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду

| a |

$| a |$ .

Амплитуда:

2

$2$

Этап 3

Найдем период

2 \cos (3 x)

$2 \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим

b

$b$ на

3

$3$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

3

$3$ равно

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины

c

$c$ и

b

$b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы:

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

Этап 4.3

Разделим

0

$0$ на

3

$3$ .

Сдвиг фазы:

0

$0$

Сдвиг фазы:

0

$0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда:

2

$2$

Период:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в

x = 0

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

0

$0$ .

f (0) = 2 \cos (3 (0))

$f (0) = 2 \cos (3 (0))$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим

3

$3$ на

0

$0$ .

f (0) = 2 \cos (0)

$f (0) = 2 \cos (0)$

Этап 6.1.2.2

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

f (0) = 2 \cdot 1

$f (0) = 2 \cdot 1$

Этап 6.1.2.3

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

f (0) = 2

$f (0) = 2$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ:

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Этап 6.2

Найдем точку в

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

6

$6$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Этап 6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.2

Точное значение

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ :

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.2.2.3

Умножим

2

$2$ на

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 0

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Этап 6.2.2.4

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

Этап 6.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.3

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.4

Умножим

2 (- 1 \cdot 1)

$2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.4.2

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Этап 6.3.2.5

Окончательный ответ:

- 2

$- 2$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

Этап 6.4

Найдем точку в

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим

3

$3$ и

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3

Точное значение

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ :

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.4.2.4

Умножим

2

$2$ на

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 0

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 6.4.2.5

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 6.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.2

Удалим число полных оборотов

2 π

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

0

$0$ и меньше

2 π

$2 π$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Этап 6.5.2.3

Точное значение

\cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Этап 6.5.2.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2

$f (\frac{2 π}{3}) = 2$

Этап 6.5.2.5

Окончательный ответ:

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда:

2

$2$

Период:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Этап 8