Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

$1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная

$h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат,

$k$ — сдвиг по оси Y от начала координат,

$a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид

$(h, k)$ . Подставим значения

$h$ и

$k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем

$c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{4 + 1}$

Этап 5.3.3

Добавим

$4$ и

$1$ .

$\sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив

$a$ к

$h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$a$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(2, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя

$a$ из

$h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения

$h$ ,

$a$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид

$(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив

$c$ к

$h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$c$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{5}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя

$c$ из

$h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения

$h$ ,

$c$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

Этап 8.3.3

Добавим

$4$ и

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения

$b$ и

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.2

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ на

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ на

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем

${\sqrt{5}}^{2}$ в виде

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{5}$ в виде

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

Этап 11

Упростим

$\frac{1}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим

$\frac{1}{2} x$ и

$0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

Этап 11.2

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x$ .

$y = \frac{x}{2}$

Этап 12

Упростим

$- \frac{1}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим

$- \frac{1}{2} x$ и

$0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

Этап 12.2

Объединим

$x$ и

$\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр:

$(0, 0)$

Вершины:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Фокусы:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Эксцентриситет:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Фокальный параметр:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Асимптоты:

$y = \frac{x}{2}$ ,

$y = - \frac{x}{2}$

Этап 15