Алгебра Примеры

$y = 4 x - x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок

$4 x$ и

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для

$- x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель

$4$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.1.2.3.2.2

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$d = - 2$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель

$4^{2}$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Умножим

$- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.1.2.4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим

$0$ и

$4$ .

$e = 4$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Этап 1.1.3

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

Этап 1.3

Поскольку

$a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(2, 4)$

Этап 1.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель

$1$ и

$- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем

$1$ в виде

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(2, \frac{15}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 2$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{17}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(2, 4)$

Фокус:

$(2, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = 2$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(2, 4)$

Фокус:

$(2, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = 2$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

Этап 2.2.1.3

Умножим

$4$ на

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4$

Этап 2.2.2

Добавим

$- 1$ и

$4$ .

$f (1) = 3$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

Этап 2.5.1.2

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Этап 2.5.1.3

Умножим

$4$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$f (0) = 0$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = 0$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

Этап 2.8.1.2

Умножим

$- 1$ на

$9$ .

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

Этап 2.8.1.3

Умножим

$4$ на

$3$ .

$f (3) = - 9 + 12$

Этап 2.8.2

Добавим

$- 9$ и

$12$ .

$f (3) = 3$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 3$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем

$4$ в степень

$2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

Этап 2.11.1.2

Умножим

$- 1$ на

$16$ .

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

Этап 2.11.1.3

Умножим

$4$ на

$4$ .

$f (4) = - 16 + 16$

Этап 2.11.2

Добавим

$- 16$ и

$16$ .

$f (4) = 0$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 4$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(2, 4)$

Фокус:

$(2, \frac{15}{4})$

Ось симметрии:

$x = 2$

Директриса:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 4