Алгебра Примеры

3 log (x) = log (27)

$3 \log (x) = \log (27)$

Этап 1

Упростим

3 log (x)

$3 \log (x)$ путем переноса

$3$ под логарифм.

$\log (x^{3}) = \log (27)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{3} = 27$

Этап 3

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем

$27$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 27 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем

$27$ в виде

$3^{3}$ .

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где

$a = x$ и

$b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем

$3$ влево от

$x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 3.4

Приравняем

$x - 3$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем

$x - 3$ к

$0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим

$3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.5

Приравняем

$x^{2} + 3 x + 9$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем

$x^{2} + 3 x + 9$ к

$0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 3.5.2

Решим

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$ относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.2

Подставим значения

$a = 1$ ,

$b = 3$ и

$c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вычтем

$36$ из

$9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Перепишем

$- 27$ в виде

$- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (27)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7

Перепишем

$27$ в виде

$3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель

$9$ из

$27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7.2

Перепишем

$9$ в виде

$3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.9

Перенесем

$3$ влево от

$i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$