Алгебра Примеры

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$

Этап 1

Запишем

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ в виде уравнения.

y = - 2 x^{3} + 1

$y = - 2 x^{3} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = - 2 y^{3} + 1

$x = - 2 y^{3} + 1$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$ .

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ на

- 2

$- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ на

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель

- 2

$- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим

$y^{3}$ на

$1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Упростим

$\sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем

$\sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$ в виде

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.5.3

Умножим

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ на

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ на

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем

$\sqrt[3]{2}$ в степень

$1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим

$1$ и

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt[3]{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде

$\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.5.5.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в

$\frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Этап 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ обратной к

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1)$ , подставив значение

$f$ в

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3} + 1) + 1)}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3}) - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 + 1)}}{2}$

Этап 5.2.3.4

Добавим

$- 1$ и

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Этап 5.2.3.5

Добавим

$2 x^{3}$ и

$0$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Этап 5.2.3.6

Умножим

$4$ на

$2$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.7

Перепишем

$8 x^{3}$ в виде

${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})$ , подставив значение

$f^{- 1}$ в

$f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})}^{3} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к

$\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем

${\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}$ в виде

$4 (- x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt[3]{4 (- x + 1)}$ в виде

${(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{({(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.4

Умножим

$4$ на

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель

$4$ из

$- 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Вынесем множитель

$4$ из

$- 4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем множитель

$4$ из

$4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 (1)}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.2.5.3

Вынесем множитель

$4$ из

$4 (- x) + 4 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Этап 5.3.3.3

Возведем

$2$ в степень

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{8} + 1$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{4 (- x + 1)}{8}) + 1$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем множитель

$2$ из

$8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Этап 5.3.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Этап 5.3.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим

$- x + 1$ на

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x + 1) + 1$

Этап 5.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 5.3.3.7

Умножим

$- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим

$x$ на

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 5.3.3.8

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в

$x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим

$- 1$ и

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим

$x$ и

$0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ — обратная к

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$