Алгебра Примеры

$y = (x - 1) (x - 4)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для

$(x - 1) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Развернем

$(x - 1) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 4) - 1 (x - 4)$

Этап 1.1.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)$

Этап 1.1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Этап 1.1.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.2.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Этап 1.1.1.1.2.1.2

Перенесем

$- 4$ влево от

$x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4$

Этап 1.1.1.1.2.1.3

Перепишем

$- 1 x$ в виде

$- x$ .

$x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4$

Этап 1.1.1.1.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$- 4$ .

$x^{2} - 4 x - x + 4$

Этап 1.1.1.1.2.2

Вычтем

$x$ из

$- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 4$

Этап 1.1.1.2

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 4$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем

$- 5$ в степень

$2$ .

$e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим

$4$ на

$1$ .

$e = 4 - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.2

Чтобы записать

$4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.3

Объединим

$4$ и

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.5.1

Умножим

$4$ на

$4$ .

$e = \frac{16 - 25}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.5.2

Вычтем

$25$ из

$16$ .

$e = \frac{- 9}{4}$

Этап 1.1.1.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{9}{4}$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

Этап 1.3

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Этап 1.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{5}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = ((1) - 1) ((1) - 4)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$f (1) = 0 ((1) - 4)$

Этап 2.2.2

Вычтем

$4$ из

$1$ .

$f (1) = 0 \cdot - 3$

Этап 2.2.3

Умножим

$0$ на

$- 3$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = ((0) - 1) ((0) - 4)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем

$1$ из

$0$ .

$f (0) = - 1 ((0) - 4)$

Этап 2.5.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$f (0) = - 1 \cdot - 4$

Этап 2.5.3

Умножим

$- 1$ на

$- 4$ .

$f (0) = 4$

Этап 2.5.4

Окончательный ответ:

$4$ .

$4$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = 0$ равно

$4$ .

$y = 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3$ .

$f (3) = ((3) - 1) ((3) - 4)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем

$1$ из

$3$ .

$f (3) = 2 ((3) - 4)$

Этап 2.8.2

Вычтем

$4$ из

$3$ .

$f (3) = 2 \cdot - 1$

Этап 2.8.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$f (3) = - 2$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ:

$- 2$ .

$- 2$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 3$ равно

$- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = ((4) - 1) ((4) - 4)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вычтем

$1$ из

$4$ .

$f (4) = 3 ((4) - 4)$

Этап 2.11.2

Вычтем

$4$ из

$4$ .

$f (4) = 3 \cdot 0$

Этап 2.11.3

Умножим

$3$ на

$0$ .

$f (4) = 0$

Этап 2.11.4

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 4$ равно

$0$ .

$y = 0$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 4