Алгебра Примеры

2 x^{2} + 5 x - 3 < 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6

$a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма —

b = 5

$b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

5 x

$5 x$ .

2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем

5

$5$ как

- 1

$- 1$ плюс

6

$6$

2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

2 x - 1

$2 x - 1$ .

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 4

Приравняем

2 x - 1

$2 x - 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

2 x - 1

$2 x - 1$ к

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

2 x = 1

$2 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член

2 x = 1

$2 x = 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член

2 x = 1

$2 x = 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

x = \frac{1}{2}, - 3

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале

x < - 3

$x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 3

$x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 6

$x = - 6$

Этап 8.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 6

$- 6$ в исходном неравенстве.

2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть

39

$39$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть

- 3

$- 3$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 3

$x = 3$

Этап 8.3.2

Заменим

x

$x$ на

3

$3$ в исходном неравенстве.

2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0

$2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть

30

$30$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 3

$x < - 3$ Ложь

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Истина

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

x < - 3

$x < - 3$ Ложь

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Истина

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

(- 3, \frac{1}{2})

$(- 3, \frac{1}{2})$

Этап 11