Алгебра Примеры

h (x) = 2 x^{2}

$h (x) = 2 x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 2}

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель

0

$0$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 2

$2 \cdot 2$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (2)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель

$0$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.4

Разделим

$0$ на

$1$ .

$d = 0$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим

$0$ на

$8$ .

$e = 0 - 0$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$e = 0$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$2 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

Этап 1.1.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = 2 x^{2}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 1.3

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 1.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Умножим

$4$ на

$2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{1}{8})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{8}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{8})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{8}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{8})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1$

Этап 2.2.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$f (- 1) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = - 1$ равно

$2$ .

$y = 2$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4$

Этап 2.5.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$f (- 2) = 8$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$8$ .

$8$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = - 2$ равно

$8$ .

$y = 8$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{2}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 \cdot 1$

Этап 2.8.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$2$ .

$y = 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим

$2$ на

${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Умножим

$2$ на

${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1.1

Возведем

$2$ в степень

$1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2}$

Этап 2.11.1.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 2}$

Этап 2.11.1.2

Добавим

$1$ и

$2$ .

$f (2) = 2^{3}$

Этап 2.11.2

Возведем

$2$ в степень

$3$ .

$f (2) = 8$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$8$ .

$8$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 2$ равно

$8$ .

$y = 8$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8 \\ - 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 8 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{8})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 8 \\ - 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 8 \end{array}$

Этап 4