Алгебра Примеры

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$

Этап 1

Запишем

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ в виде уравнения.

y = \ln (x)

$y = \ln (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = \ln (y)

$x = \ln (y)$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ .

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно

y

$y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{\ln (y)} = e^{x}

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Этап 3.3

Перепишем

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{x} = y

$e^{x} = y$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде

y = e^{x}

$y = e^{x}$ .

y = e^{x}

$y = e^{x}$

y = e^{x}

$y = e^{x}$

Этап 4

Заменим

y

$y$ на

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Этап 5

Проверим, является ли

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ обратной к

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

f^{- 1} (\ln (x))

$f^{- 1} (\ln (x))$ , подставив значение

f

$f$ в

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Этап 5.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

f (e^{x})

$f (e^{x})$ , подставив значение

f^{- 1}

$f^{- 1}$ в

f

$f$ .

f (e^{x}) = \ln (e^{x})

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.3.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести

x

$x$ из степени.

f (e^{x}) = x \ln (e)

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Этап 5.3.4

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

f (e^{x}) = x \cdot 1

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Этап 5.3.5

Умножим

x

$x$ на

1

$1$ .

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

Этап 5.4

Так как

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ — обратная к

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ .

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$