Алгебра Примеры

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 4$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 4$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 1.4.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - \frac{31}{8})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{33}{8}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{31}{8})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{33}{8}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{31}{8})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{33}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 2$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = - 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 2$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 2$

Этап 2.5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 2 - 4 \cdot - 1 - 2$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 4 - 2$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ и $4$ .

$f (- 1) = 6 - 2$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$f (- 1) = 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Этап 2.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 2$

Этап 2.8.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2 - 2$

Этап 2.8.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 - 4 \cdot 2 - 2$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (2) = 8 - 8 - 2$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (2) = 0 - 2$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (2) = - 2$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 2$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 2$

Этап 2.11.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (3) = 18 - 4 \cdot 3 - 2$

Этап 2.11.1.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (3) = 18 - 12 - 2$

Этап 2.11.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $12$ из $18$ .

$f (3) = 6 - 2$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$f (3) = 4$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 3$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{31}{8})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Этап 4